Numerik

Ingenieurinformatik Teil 2, Sommersemester 2026

David Straub

Gliederung

1. Einführung in Matlab
2. Arbeiten mit Arrays
3. Funktionen und Kontrollstrukturen
4. Analysis
5. Lineare Algebra
6. Differentialgleichungen
7. Einführung in Simulink

Fahrplan

Letzte Einheit: Matrizen und lineare Gleichungssysteme
→ Matrixoperationen, Determinante, Inverse
→ Linksdivision \ für LGS
→ Überbestimmte Systeme und Least-Squares

Heute: Eigenwertprobleme
→ Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen
→ Geometrische Interpretation
→ Anwendung: Gekoppelte Schwingungen

Motivation

Was ist ein Eigenwertproblem?

Definition: Ein Vektor $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ heißt Eigenvektor der Matrix $A$, wenn es eine Zahl $\lambda$ gibt mit:

$$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$$

Die Zahl $\lambda$ heißt Eigenwert zum Eigenvektor $\mathbf{x}$.

Beispiel: Gitarrensaite

Modell: $n$ Massen $m$, durch Fadenspannung $T$ verbunden, Abstand $h$

○─────○─────○─────○─────○
u₁    u₂    u₃    u₄    u₅

Jede Masse wird von ihren Nachbarn gezogen:

$$F_i = \frac{T}{h}(u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1})$$

$F = ma$, dann Ansatz $u_i(t) = v_i\cos(\omega t)$ einsetzen — für alle $n$ Massen gleichzeitig:

$$K\mathbf{v} = \omega^2 m\,\mathbf{v}$$

Gitarrensaite: Die Steifigkeitsmatrix $K$

$K$ enkodiert die Kopplung zwischen Nachbarn ($n = 5$):

$$K = \frac{T}{h}\begin{pmatrix}2&-1&&&\\-1&2&-1&&\\&-1&2&-1&\\&&-1&2&-1\\&&&-1&2\end{pmatrix}$$

$m$ ist eine Zahl — alle Massen gleich.

Die Eigenwerte $\omega^2$ sind die erlaubten Schwingungsfrequenzen,
die Eigenvektoren $\mathbf{v}$ die zugehörigen Schwingungsformen.

Gitarrensaite: Grundton und 1. Oberton

Grundton $\omega_1$: alle Massen gleichphasig

$$\mathbf{v}_1 \approx (0.50,\ 0.87,\ 1.00,\ 0.87,\ 0.50)^T$$

1. Oberton $\omega_2 \approx 2\,\omega_1$ → Oktave

$$\mathbf{v}_2 \approx (0.87,\ 0.87,\ 0,\ {-0.87},\ {-0.87})^T$$

Knotenpunkt in der Mitte: zweite Hälfte schwingt gegenphasig.

Beispiel: Flugzeugflügel Turboprop

Problem: Das Triebwerk dreht sich. Wenn die Drehfrequenz eine Eigenfrequenz des Flügels trifft $\rightarrow$ Resonanz $\rightarrow$ Materialversagen.

• Historisches Beispiel: Lockheed L-188 Electra, 1959: „Whirl Flutter“ führte zum strukturellen Versagen der Tragflächen.

Vereinfachtes Modell: Flügel + Triebwerk als 2-Massen-System:

$$K\,\mathbf{v} = \omega^2 M\,\mathbf{v}, \qquad M = \begin{pmatrix} m_\text{Flügel} & 0 \\ 0 & m_\text{Triebwerk} \end{pmatrix}$$

Eigenvektoren $\mathbf{v}$: Schwingungsform — z.B. Flügel hebt sich, Triebwerk senkt sich.

Ziel der Konstruktion: Struktur so auslegen, dass die Eigenfrequenzen außerhalb des Betriebsdrehzahlbereichs liegen!

Eigenwertproblem

Was ist ein Eigenwertproblem?

Definition: Ein Vektor $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ heißt Eigenvektor der Matrix $A$, wenn es eine Zahl $\lambda$ gibt mit:

$$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$$

Die Zahl $\lambda$ heißt Eigenwert zum Eigenvektor $\mathbf{x}$.

$A$ muss quadratisch sein: $A\mathbf{x}$ und $\mathbf{x}$ müssen denselben Typ haben (gleiche Dimension), damit $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$ überhaupt Sinn ergibt.

Geometrische Interpretation

$$M\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$

• Öffnen Sie GeoGebra
• Finden Sie Vektoren, bei denen die Transformation $M$ die Richtung des Vektors $\boldsymbol{v}=\overrightarrow{OP}$ nicht ändert
• Intepretieren Sie und diskutieren Sie den Zusammenhang mit Eigenvektoren und Eigenwerten

Eigenschaften

Für symmetrische Matrizen ($A = A^T$):

• Alle Eigenwerte sind reell
• Es gibt $n$ linear unabhängige Eigenvektoren

Für nicht-symmetrische Matrizen:

• Eigenwerte können komplex sein
• Nicht immer $n$ linear unabhängige Eigenvektoren

Determinante:

$$\det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \ldots \cdot \lambda_n$$

Eigenwerte in Matlab

Die Funktion eig

A = [1  2;
     3  4];

lambda = eig(A)          % Eigenwerte als Vektor

Mit Eigenvektoren:

[V, D] = eig(A)

• V: Matrix, deren Spalten die Eigenvektoren sind
• D: Diagonalmatrix mit den Eigenwerten

Beziehung: $A V = V D$

A = [4 -5  1;
     2 -3  1;
     1 -2  2];

[V, D] = eig(A)

Es gilt:

$$A \cdot V = V \cdot D$$

Komponentenweise (Zeile $i$, Eigenvektor $k$):

$$\sum_j A_{ij}\, V_{jk} = \lambda_k\, V_{ik}$$

Beispiel: 3×3 Matrix

A = [4 -5  1;
     2 -3  1;
     1 -2  2];

[V, D] = eig(A);

D        % Diagonalmatrix mit Eigenwerten

Ausgabe:

D =
   -0.6180         0         0
         0    2.0000         0
         0         0    1.6180

Drei Eigenwerte: $\lambda_1 = -0.62$, $\lambda_2 = 2.00$, $\lambda_3 = 1.62$

Übung: Eigenwerte erkunden

Gegeben ist die symmetrische Matrix:

A = [3 1; 1 3];

1. Berechnen Sie die Eigenwerte mit eig(A)
2. Berechnen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren mit [V, D] = eig(A)
3. Überprüfen Sie: Gilt A * V(:,1) ≈ D(1,1) * V(:,1)?
4. Was fällt an den Eigenwerten auf? (Hinweis: A ist symmetrisch)
5. Berechnen Sie det(A) – wie hängt das mit den Eigenwerten zusammen?

Eigenvektor zum 3. Eigenwert

V(:,3)       % 3. Spalte von V

Ausgabe:

   0.3361
   0.3361
   0.8798

Probe:

A * V(:,3)              % [0.544; 0.544; 1.424]
D(3,3) * V(:,3)         % [0.544; 0.544; 1.424] ✓

Anwendung: Gekoppelte Schwingungen

2-Massen-Feder-System

Zwei Massen $m_1$, $m_2$ sind durch Federn verbunden.

Bewegungsgleichungen:

$$\begin{aligned} m_1 \ddot{x}_1 &= -c_1 x_1 + c_2(x_2 - x_1) \\ m_2 \ddot{x}_2 &= -c_2(x_2 - x_1) \end{aligned}$$

Gesucht: Wie schwingen die Massen?

Dasselbe Modell wie der Flugzeugflügel von vorhin — jetzt rechnen wir es vollständig durch.

Umformung zum Eigenwertproblem

Ansatz: $x_1(t) = A_1 \cos(\omega t)$, $x_2(t) = A_2 \cos(\omega t)$

Führt auf:

$$\begin{bmatrix} c_1 + c_2 & -c_2 \\ -c_2 & c_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} = \omega^2 \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$$

Das ist ein Eigenwertproblem!

$$K \mathbf{A} = \omega^2 M \mathbf{A}$$

Parameter festlegen

m1 = 1;    % Masse 1 [kg]
m2 = 1;    % Masse 2 [kg]
c1 = 1;    % Federkonstante 1 [N/m]
c2 = 1;    % Federkonstante 2 [N/m]

K = [c1+c2, -c2;
     -c2,    c2];

M = [m1,  0;
      0, m2];

Verallgemeinertes Eigenwertproblem

Problem: $K \mathbf{A} = \omega^2 M \mathbf{A}$

Das ist ein verallgemeinertes Eigenwertproblem:

$$A \mathbf{x} = \lambda B \mathbf{x}$$

Matlab:

[V, D] = eig(K, M)

$V$ enthält die Eigenvektoren (Schwingungsformen)
$D$ enthält die Eigenwerte $\omega^2$

Eigenfrequenzen berechnen

[V, D] = eig(K, M);

omega_squared = diag(D)     % [0.382; 2.618]
omega = sqrt(omega_squared)  % [0.618; 1.618]
f = omega / (2*pi)           % Frequenzen in Hz

Zwei Eigenfrequenzen:

• $\omega_1 = 0.618$ rad/s
• $\omega_2 = 1.618$ rad/s

Eigenschwingungen (Eigenvektoren)

V

Ausgabe:

  -0.5257  -0.8507
  -0.8507   0.5257

Erste Eigenschwingung: Beide Massen schwingen in Phase
$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -0.53 \\ -0.85 \end{bmatrix}$ (gleiches Vorzeichen)

Zweite Eigenschwingung: Beide Massen schwingen gegenphasig
$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -0.85 \\ 0.53 \end{bmatrix}$ (entgegengesetztes Vorzeichen)

Visualisierung der Eigenschwingungen

t = linspace(0, 20, 500);

tiledlayout(1, 2)

nexttile
plot(t, V(1,1)*cos(omega(1)*t), t, V(2,1)*cos(omega(1)*t))
title(sprintf('Mode 1  (\\omega_1 = %.2f rad/s)', omega(1)))
xlabel('t [s]'); legend('Masse 1', 'Masse 2')

nexttile
plot(t, V(1,2)*cos(omega(2)*t), t, V(2,2)*cos(omega(2)*t))
title(sprintf('Mode 2  (\\omega_2 = %.2f rad/s)', omega(2)))
xlabel('t [s]'); legend('Masse 1', 'Masse 2')

Spezialfälle: Reine Eigenschwingungen

Anfangsbedingung = Eigenvektor → nur eine Mode wird angeregt:

x0 = V(:,1);   % → nur ω₁, beide Massen in Phase
x0 = V(:,2);   % → nur ω₂, Massen gegenphasig

Beliebige Anfangsbedingung → Überlagerung beider Moden.

Übung: Federsystem erkunden

Ändern Sie die Parameter und beobachten Sie das Verhalten:

m1 = 2;  m2 = 1;   % Unterschiedliche Massen
c1 = 2;  c2 = 3;   % Unterschiedliche Federn

1. Wie ändern sich die Eigenfrequenzen $\omega_1$, $\omega_2$?
2. Wie sehen die neuen Eigenschwingungsformen aus?
3. Welche Anfangsbedingung x0 regt nur die erste Eigenschwingung an?
4. Bonusaufgabe: Was passiert wenn c1 = 0? (Kein Anker für Masse 1)

Zusammenfassung

Eigenwertprobleme in Matlab

Gewöhnliches Eigenwertproblem:

lambda = eig(A)           % Nur Eigenwerte
[V, D] = eig(A)           % Eigenvektoren und -werte

Verallgemeinertes Eigenwertproblem:

[V, D] = eig(A, B)

Wichtigste Erkenntnisse

• Eigenvektoren sind besondere Richtungen, die nur gestreckt/gestaucht werden
• Physikalische Bedeutung: Eigenschwingungen, Hauptachsen, stabile Richtungen
• Eigenwerte einer Matrix: $\det(A) = \prod \lambda_i$
• Für symmetrische Matrizen: Eigenwerte immer reell
• Verallgemeinertes EWP: $K\mathbf{x} = \omega^2 M\mathbf{x}$ → eig(K, M) (nicht eig(inv(M)*K)!)
• Anwendungen: Schwingungsanalyse, Stabilitätsuntersuchungen, FEM, Regelungstechnik, ...